거울대칭에서 실마리…필즈상 수상자, 방정식 분류 새 증명 제시

하이커뮤니티매니져 0 1 02:38

1998년 필즈상 수상자 막심 콘체비치 교수팀이 끈이론에서 영감을 받은 기법으로 50년간 풀리지 않던 고차 다항식 분류 문제를 증명했다고 발표해 학계의 관심과 검증이 이어지고 있다. 게티이미지뱅크 제공

1998년 필즈상 수상자인 막심 콘체비치 프랑스 고등과학연구소(IHES) 교수가 이끄는 연구팀이 대수기하학의 오랜 난제를 풀었다고 주장하는 증명을 내놓았다. 50년 가까이 정체돼 있던 분야에 돌파구가 열릴지 주목된다.

12일 미국 과학전문매체 ‘콴타매거진’ 보도에 따르면 콘체비치 교수팀은 지난 8월 동료 심사 없이 논문을 공개할 수 있는 ‘아카이브(arXiv)’에 3차 다항식이 만드는 4차원 기하학적 공간(4차원 다양체)이 유리 매개변수화될 수 없음을 증명했다고 발표했다.

다항식 방정식의 해는 곡선이나 곡면 같은 기하학적 형태로 나타난다. 수학자들은 해의 구조가 단순한지, 복잡한지에 따라 방정식을 구분한다. 간단한 공식으로 모든 해를 한 번에 나타낼 수 있으면 '유리 매개변수화가 가능하다'고 말한다.

1970년대에 3차원 공간을 이루는 방정식은 대체로 유리 매개변수화가 불가능하다는 사실이 밝혀졌다. 하지만 그다음 단계인 4차원 공간에서는 기존 방법이 통하지 않아 연구가 멈춰 있었다.

콘체비치 교수팀은 4차원 공간 역시 유리 매개변수화가 불가능함을 증명했다고 주장했다. 이 방정식들의 해 구조가 본질적으로 복잡하다는 뜻이다.

이번 증명은 20년 넘게 여러 수학자의 아이디어가 쌓인 끝에 나왔다. 시작은 2002년이었다. 루드밀 카차르코프 미국 마이애미대 교수는 끈이론에서 발전한 '거울대칭' 개념에 주목했다. 거울대칭은 겉보기에 다른 두 기하학적 공간이 깊은 곳에서 서로 연결돼 있다는 이론이다. 한쪽 공간의 곡선 개수를 세면 다른 쪽 공간의 내부 구조를 파악할 수 있다. 카차르코프 교수는 이 개념이 다항식 분류 문제를 푸는 열쇠가 될 수 있다고 봤다.

카차르코프 교수는 이 방법으로 4차원 공간의 '호지 구조'라는 내부 성질에 간접적으로 접근할 수 있다고 봤다. 하지만 혼자서는 기술적 난관을 넘지 못했다. 거울대칭 이론의 개척자인 콘체비치 교수에게 협력을 제안했지만 번번이 거절당했다. 콘체비치 교수는 개별 문제보다 거울대칭 프로그램 전체를 발전시키는 데 더 관심이 있었다.

2018년 분위기가 바뀌었다. 콘체비치 교수와 카차르코프 교수, 토니 판테브 미국 펜실베이니아대 교수가 호지 구조를 조각내는 다른 문제를 함께 연구하게 됐다. 이 과정에서 콘체비치 교수는 카차르코프 교수의 오랜 아이디어를 다시 검토했고 순식간에 돌파구를 찾아냈다.

거울대칭 이론에 직접 기대지 않으면서도 핵심 아이디어를 활용하는 방법이었다. 2019년 여름 콘체비치 교수는 모스크바 학회에서 새 접근법을 공개했다. 4차원 공간의 호지 구조를 여러 '원자'로 쪼개 각각 분석하겠다는 구상이었다. 다만 각 원자의 변화를 설명할 공식이 아직 없었다.

코로나19 팬데믹이 오히려 전화위복이 됐다. 토니 유에 유 미국 캘리포니아공대 교수가 팀에 합류해 텅 빈 고등과학연구소에서 콘체비치 교수와 공동 연구에 매진했다.

결정적 고비는 외부에서 넘겼다. 2019년 모스크바 강연을 들은 이리타니 히로시 일본 교토대 교수가 같은 문제를 독자 연구하고 있었다. 이리타니 교수는 2023년 7월 핵심 공식을 증명했고 콘체비치 교수팀은 이를 발판 삼아 최종 논증을 완성했다. 4차원 공간에는 단순한 형태로 절대 바뀔 수 없는 원자가 최소 하나 존재한다는 결론이었다.

학계 반응은 엇갈린다. 파올로 스텔라리 이탈리아 밀라노대 교수는 콴타매거진에 "미래 수학의 한 조각일 수 있다"고 말했다. 브렌던 해싯 미국 브라운대 교수는 2003년 푸앵카레 추측을 증명한 그리고리 페렐만에 비유했다. 당시에도 생소한 기법이 쓰였고 다른 수학자들이 기존 도구로 재현한 뒤에야 학계가 인정했다.

다만 검증에는 시간이 걸릴 전망이다. 증명에 쓰인 기법이 대수기하학자들에게 낯설기 때문이다. 샤오윈 바이 미국 매사추세츠공과대(MIT) 조교수는 콴타매거진에 "문제를 아는 사람이 도구를 모르는 상황"이라고 말했다. 현재 파리, 베이징, 한국 등에서 논문 검토 세미나가 열리고 있다. 바이 조교수가 공동 조직한 세미나는 90분씩 11차례 진행됐지만 참가자들은 여전히 어려움을 겪고 있다.

연구팀은 이 방식이 5차원 이상에도 적용될 수 있다고 본다.

https://m.dongascience.com/news.php?idx=75558

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